Soient \(K={\Bbb R}\) ou \({\Bbb C}\) et \(n\in{\Bbb N}^*\)
Montrer que tout élément de \(\mathcal L(\mathcal M_n(K))\) qui conserve le déterminant conserve le rang

Mq \(\varphi\) inversible \(\to\) \(A\in\ker\varphi\) non inversible
On note \(\varphi\) cet endomorphisme
Tout d'abord, nous allons établir que \(\varphi\) est inversible
Soit \(A\in\ker\varphi\). Puisque \(\varphi\) conserve le déterminant, on a : $$\operatorname{det} A=\operatorname{det}(\varphi(A))=0$$ donc la matrice \(A\) n'est pas inversible

Par l'absurde, \(A\) est non nulle
Supposons par l'absurde que \(A\) est non nulle, donc de rang \(r\in[\![1,n-1]\!]\)

Existence de matrices qui rendent \(A\) semblable à \(J_r\)
Il existe \(P,Q\) inversibles telles que \(PAQ=J_r\)

Dégager \(J_r\) dans une égalité avec des déterminants de \(B,P^{-1},Q^{-1}\)
Pour toute matrice \(B\), $$\begin{align}\operatorname{det}(J_r+B)\operatorname{det}(P^{-1})\operatorname{det}(Q^{-1})&=\operatorname{det}(A+P^{-1}BQ^{-1})\\ &=\operatorname{det}(\varphi(A)+\varphi(P^{-1}BQ^{-1}))\\ &=\operatorname{det}(\varphi(P^{-1}BQ^{-1}))\\ &=\operatorname{det}(B)\operatorname{det}(P^{-1})\operatorname{det}(Q^{-1})\end{align}$$

Pour un certain \(B\) de déterminant \(0\) et dont \(\operatorname{det}(J_r+B)=1\), c'est absurde \(\to\) \(\varphi\) isomorphisme
Pour \(B=I_n-J_r\), $$\operatorname{det}(J_r+B)\operatorname{det}(P^{-1})\operatorname{det}(Q^{-1})=\operatorname{det}(P^{-1})\operatorname{det}(Q^{-1})=\operatorname{det}(B)\operatorname{det}(P^{-1})\operatorname{det}(Q^{-1})=0$$
C'est absurde, donc \(\ker(\varphi)=\{0\}\) et \(\varphi\) est un isomorphisme

Ppt vraie pour une matrice de rang \(n\)
On va montrer que \(\varphi\) conserve le rang en suivant des idées analogues
Si \(A\in GL_n({\Bbb C})\), alors \(\operatorname{det}(A)=\operatorname{det}(\varphi(A))\ne0\), donc la propriété est vraie pour une matrice de rang \(n\)

Pour \(A\) non inversible \(\to\) existe des matrices qui rendent \(A\) équivalente à des \(J\)
On se donne une matrice \(A\) non inversible telle que \(\operatorname{Rg}(A)=r\) et \(\operatorname{Rg}(\varphi(A))=s\)
Il existe des matrices inversibles \(P,Q,R,S\) telles que $$PAQ=J_r\quad\text{ et }\quad R\varphi(A)S=J_s$$

Poser une fonction dont le déterminant est multiplié par le produit des matrices lors des équivalences et qui transforme \(J_s\) en \(J_r\)
On note \(\psi:M\mapsto R\varphi(P^{-1}MQ^{-1})S\) de sorte que $$\operatorname{det}(\psi(M))=k\operatorname{det}(M)\quad\text{ avec }\quad k=\operatorname{det}(RSP^{-1} Q^{-1})\quad\text{ et }\quad\psi(J_r)=R\varphi(A)S=J_s$$

Infos sur les degré des polynômes donnés par des déterminants spéciaux
Alors $$\operatorname{det}(\psi(xJ_r+I_n-J_r))=\operatorname{det}(xJ_s+\psi(I_n-J_r))$$ est un polynôme de degré \(\leqslant s\) et $$\operatorname{det}(\psi(xJ_r+I_n-J_r)=k\operatorname{det}(xJ_r+I_n-J_r)$$ est un polynôme de degré \(r\)
Et ainsi \(r\leqslant s\). On a ainsi \(\operatorname{Rg}(A)\leqslant\operatorname{Rg}(\varphi(A))\)

Même chose avec \(\varphi^{-1}\)

De même, comme \(\varphi^{-1}\) vérifie les mêmes hypothèses, on a $$\operatorname{Rg}(A)=\operatorname{Rg}(\varphi(A))$$